Амир Абдразаков родился 15 января 1934 года в селе Каипкулово Александровского района Оренбургской области. Любовь к музыке шла с ним всю жизнь. Его отец Габдульман-агай — фронтовик, председатель колхоза и председатель сельсовета — был блестящим исполнителем башкирских народных песен. Во время учебы в школе Амир самостоятельно освоил игру на многих музыкальных инструментах, особенно нравилась ему мандолина. Любовь к музыке и песне Амир Габдульманович передал и своим сыновьям — Аскару и Ильдару, которые стали выдающимися оперными солистами.
В 1959 году Амир Абдразаков окончил башкирскую студию при Государственном институте театрального искусства им. А.В.Луначарского в Москве по курсу Пыжовой и Бибикова. В 1959-1962 годах работал в Башкирском академическом театре драмы имени М.Гафури. Обладая яркой индивидуальностью и природным актерским талантом, создал целый ряд запоминающихся сценических образов в классических спектаклях. Его театральным дебютом стала роль Ведерникова в пьесе Алексея Арбузова «Годы странствий». Он блестяще сыграл Тимербулата в пьесе «Он вернулся» Ангама Атнабаева, Надира в драме Джемаля «Черные розы», Хаернаса в пьесе Назара Наджми «Парень есть парень» и другие роли.
В 1962 году Амир Абдразаков перешел на режиссерскую работу в Комитет по радиовещанию и телевидению при Совете Министров Башкирской АССР. Здесь он прошел хорошую школу в качестве ассистента у одного из самых известных и колоритных режиссеров национального телевидения Рифката Файзи, который стал для Амира Габдульмановича бесценным наставником, обучившим его азам телевизионного мастерства. Абдразаковым было создано около 50 телефильмов, которые вошли в золотой фонд башкирского телевидения. Среди них — первые многосерийные фильмы по романам Яныбая Хамматова «Золото собирается крупицами» и «Кинзя» Гали Ибрагимова.
Работая с 1991 года первым директором киностудии «Башкортостан», Амир Габдульманович многое сделал для становления и развития киноискусства в республике. Он снял документальные и художественные фильмы «Ахмет-Заки Валиди Тоган», «Акмулла», «Песнь моего народа», «Свадьба», «Ишмулла», «Крылья души», «Загир Исмагилов» и многие другие, посвященные выдающимся деятелям культуры нашего родного края. Его последней законченной творческой работой стала документальная лента о народной писательнице Башкортостана Зайнаб Биишевой «Наша Зайнаб», премьера которой состоялась 22 февраля 2008 года.
К сожалению, остался незавершенным фильм под названием «Крылья мои», который он считал главным в своей творческой биографии. В основе фильма должна была быть история сыновей — знаменитых оперных певцов мирового уровня Аскара и Ильдара Абдразаковых.
За выдающийся вклад в развитие башкирской и российской культуры Амиру Габдульмановичу было присвоено почетное звание «Заслуженный работник культуры Башкирской АССР». Его историко-биографический киноочерк «Несломленный дух» о жизни и подвиге национального героя Салавата Юлаева отмечен Государственной премией Республики Башкортостан имени С.Юлаева. Амир Абдразаков избирался председателем Союза кинематографистов Республики Башкортостан, действительным членом Российской академии кинематографических искусств «Ника», членом Гильдии кинорежиссеров России, членом правления Союза театральных деятелей Республики Башкортостан. С 1994 года он преподавал в Уфимском институте искусств.
Амир Абдразаков скончался после тяжелой и продолжительной болезни 6 марта 2008 года на 75-м году жизни и похоронен в Уфе. 15 декабря 2009 года на доме №6 по улице Гафури в Уфе, где жил Амир Габдульманович, была открыта мемориальная доска. В 2010 году ему посмертно вручена премия имени Зайнаб Биишевой. В 2013 году в издательстве «Китап» вышла в свет книга «Степной беркут» о жизни и творчестве этого выдающегося деятеля культуры.